Question

如图，抛物线y=ax 2 +bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=4时，y的值相等

如图，抛物线y=ax 2 +bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=4时，y的值相等，直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M。（1）求这条抛物线的解析式；（2）P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与点M重合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值，并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；（4）随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值。

Answer 1

解：（1）∵当x=0和x=4时，y的值相等， ∴c=16a+4b+c， ∴b=-4a， ∴ ， 将x=3代入y=4x-16，得y=-4， 将x=2代入y=4x-16，得y=-8， ∴设抛物线的解析式为y=a（x-2） 2 -8， 将点（3，-4）代入，得-4=a（x-2） 2 -8，解得a=4， ∴抛物线y=4（x-2） 2 -8，即y=4x 2 -16x+8； （2）设直线OM的解析式为y=kx，将点M（2，-8）代入，得k=-4， ∴y=-4x， 则点P（t-4t），PQ=4t，而PC=8，OQ=t， S=S △COQ +S△ OPQ = ×8×t+ ×t×4t=2t 2 +4t， t的取值范围为：0＜t≤2； （3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值， 从图象可看出，随着点P由O→M运动，△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大，即S不断变大，显当然点P运动到点M时，S最值， 此时t=2时，点Q在线段AB的中点上， 因而S= ×2×8+ ×2×8=16， 当t=2时，OC=MQ=8，OC∥MQ， ∴四边形PQCO是平行四边形；  （4）随着点P的运动，存在t= ，能满足PO=OC， 设点P（t，-4t），PQ=4T，OQ=t， 由勾股定理，得OP 2 =（4t） 2 +t 2 =17t 2 ， ∵PO=OC， ∴17t 2 =8 2 ， ， （不合题意） ∴当 时，PO=OC。