Question

（2007?越秀区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥CD；

（2007?越秀区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥CD；（2）以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，若AD=2，AC=5，求点B的坐标．

Answer 1

（1）证明：连接OC．
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥CD；

（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

＝

AC

AB

，
∵AD=2，AC=

5

，
∴AB=

5

2

，
∴OB=

5

4

，
∴B点坐标是（

5

4

，0）．