Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，关于数列{a n }有下列四个命题：①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则S

设数列{a n }的前n项和为S n ，关于数列{a n }有下列四个命题：①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则S n =na 1 ；②若S n =2+（-1） n ，则{a n }是等比数列；③若S n =an 2 +bn（a，b∈R），则{a n }是等差数列；④若S n =p n ，则无论p取何值时{a n }一定不是等比数列．其中正确命题的序号是______．

Answer 1

①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则数列为非0常数列，既a n =a 1 ，则S n =na 1 成立； ②若S n =2+（-1） n ，当n≥2时，a n =S n -S n-1 =（-1） n-1 -（-1） n ，而a 1 =2+（-1） 1 =1不适合上式，所以{a n }不是等比数列， ③因为{a n }是等差数列时， S n = d 2 n 2 +( a 1 - d 2 )n 符合S n =an 2 +bn（a，b∈R）的形式，故③成立； ④若S n =p n ，当n≥2时，a n =S n -S n-1 =p n -p n-1 =p n-1 （p-1），而a 1 =S 1 =p不适合上式，所以{a n }不是等比数列； 故只有①③④为真命题． 故答案为：①③④．