Question

在平面直角坐标系xOy中，点_P到定点F（-1，0）的距离的两倍和它到定直线x=-4的距离相等．（Ⅰ）求点P的轨

在平面直角坐标系xOy中，点_P到定点F（-1，0）的距离的两倍和它到定直线x=-4的距离相等．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并说明轨迹C是什么图形；（Ⅱ）已知点Q（l，1），直线l：y=x+m（m∈R）和轨迹C相交于A、B两点，是否存在实数m，使△ABQ的面积S最大？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设P（x，y），根据题意，2|PF|=d． 即：2 (x+1) 2 +y 2 =|4+x|， 平方化简得3x 2 +4y 2 =12，即 x 2 4 + y 2 3 =1 ． 点P的轨迹是长轴、短轴长分别为4、2 3 ，焦点在x轴上的椭圆． （Ⅱ）设直线L与轨迹C的交点为A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）两点． 联立方程得： y=x+m x 2 4 + y 2 3 =1 ?7x 2 +8mx+4m 2 -12=0， x 1 +x 2 =- 8m 7 ，x 1 x 2 = 4m 2 -12 7 ， △=64m 2 -4×7×4（m 2 -3）=48（7-m 2 ）＞0 |AB|= 2 [ (x 1 +x 2 ) 2 - 4x 1 x 2 ] = 4 6 7 × 7 -m 2 ． 点Q（1，1）到L：y=x+m的距离为 |m| 2 ． ∴S △ = 1 2 × 4 6 7 × 7 -m 2 × |m| 2 = 2 3 7 × (7 -m 2 )m 2 ≤ 2 3 7 × 7 -m 2 +m 2 2 = 3 ． 当且仅当7-m 2 =m 2 ，即m=± 14 2 时，满足△=48（7-m 2 ）＞0， ∴存在实数m= ± 14 2 ，使△ABQ的面积S最大，最大值为 3 ．