Question

如图，已知AB=AC，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，BD平分∠ABC．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求AD

如图，已知AB=AC，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，BD平分∠ABC．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求ADAC的值；（3）求cosA的值．

Answer 1

（1）证明：∵AB的中垂线MN交AC于点D
∴AD=BD
∴∠A=∠ABD
∵BD平分∠ABC
∴∠A=∠ABD=∠DBC，
又∵∠C是公共角
∴△ABC∽△BDC；

（2）根据（1）可得：AD=BD=BC
设AC=1，AD=x
∵△ABC∽△BCD
则

1

x

＝

x

1?x

，
解得x＝

?1+ 5

2

或x＝

?1? 5

2

（不合题意，舍去）
∴x＝

?1+ 5

2

，
∴

AD

AC

＝

5 ?1

2

；

（3）在Rt△AMD中，DM⊥AB
∴cosA＝

AM

AD

＝

1 2

x

＝

5 +1

4

．