Question

已知k是满足1910＜k＜2010的整数，并且使二元一次方程组5x?4y＝74x+5y＝k有整数解．问：这样的整数k有多

已知k是满足1910＜k＜2010的整数，并且使二元一次方程组5x?4y＝74x+5y＝k有整数解．问：这样的整数k有多少个？

Answer 1

解方程组可得解：

x＝ 35+4k 41 y＝ 5k?28 41

．
设当

35+4k＝41m 28?5k＝41n

（其中m和n是整数）（1）时方程组有整数解．
消去上面方程中的k，得到5m-4n=7．（2）
∵m=

7?4n

5

=1+n-

2+n

5

且m和n是整数，
∴只要满足-

2+n

5

=l（l是整数）即可，即n=-5l-2，代入（2）式得m=3+4l，
∴从（2）解得

m＝3+4l n＝?2?5l

（其中l是整数）．（3）
将（3）代入（1）中一个方程得：35+4k=123-164l，解得k=22+41l．
∵k是满足1910＜k＜2010的整数，
∴1910＜22+41l＜2010，
解不等式得

1888

41

＜l＜

1988

41

，46

2

41

＜l＜48

20

41

．
因此共有2个k值使原方程有整数解．
答：这样的整数

Answer 2

这道题有一道常规做法，也有一种判断尾数枚举方法，具体过程如下

数学方法之美

主要思想：y的个数对应k的个数