Question

已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的区间[-1，2]上是减函数，则b+c的取值范围是(?∞，?152](?∞，?152]

已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的区间[-1，2]上是减函数，则b+c的取值范围是(?∞，?152](?∞，?152]．

Answer 1

解答：解：由f（x）=x³+bx²+cx+d，
则f′（x）=3x²+2bx+c．
要使函数f（x）=x³+bx²+cx+d的区间[-1，2]上是减函数，
则f′（x）=3x²+2bx+c≤0在x∈[-1，2]上恒成立．
所以

f′(?1)≤0 f′(2)≤0

，即

3×(?1)2?2b+c≤0 3×22+4b+c≤0

．
也就是

2b?c≥3 4b+c≤?12

．
以b为横轴，c为纵轴画出可行域如图，
联立

2b?c＝3 4b+c＝?12

，解得

b＝? 3 2 c＝?6

．
所以可行域上顶点为(?

3

2

，?6)．
则b+c的最大值为?

3

2

?6＝?

15

2

．
故b+c的取值范围是（-∞，-

15

2

]．
故答案为（-∞，-

15

2

]．