Question

在探究函数f（x）=x3+3x，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）的最值中，（Ⅰ）先探究函数y=f（x）在区间（0，+∞

在探究函数f（x）=x3+3x，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）的最值中，（Ⅰ）先探究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上的最值，列表如下：x…0.10.20.50.70.911.11.21.32345…y…30.015.016.134.64.0644.064.234.509.52864.75125.6…观察表中y值随x值变化的趋势，知x=______时，f（x）有最小值为______；（Ⅱ）再依次探究函数y=f（x）在区间（-∞，0）上以及区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的最值情况（是否有最值？是最大值或最小值？），请写出你的探究结论，不必证明；（Ⅲ）设g（x）=3x2+1x2，若g（2x）-k?2x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）x=1时，f（x）有最小值是4；
（Ⅱ）探究函数y=f（x）在区间（-∞，0）上的最值，列表如下：

x	…	-0.1	-0.2	-0.5	-0.7	-0.9	-1	-1.1	-1.2	-1.3	-2	-3	-4	-5	…
y	…	-30.0	-15.01	-6.13	-4.6	-4.06	-4	-4.06	-4.23	-4.50	-9.5	-28	-64.75	-125.6	…

综合上表，在区间（-∞，0）上，x=-1时，取得最大值-4，
在区间（-∞，0）∪（0，+∞）上，函数无最值，
（Ⅲ）令2^x=t，由x∈[-1，1]得t∈[

1

2

，2]，
则g（2^x）-k?2^x≥0换元得g（t）-kt≥0，即k≤

g(t)

t

=

3t2+ 1 t2

t

=3t+

1

t3

，
再令

1

t

=x，由t∈[

1

2

，2]得x∈[

1

2

，2]，换元得k≤x³+

3

x

，
即求解k≤x³+

3

x

，对于x∈[

1

2

，2]恒成立，
由（Ⅰ）可知f（x）=x³+

3

x

在区间（0，+∞）上，x=1时，f（x）有最小值是4，
则x∈[

1

2

，2]时，x³+

3

x

≥4，
则k≤4．