Question

已知函数f（x）=1?2x2x+1请用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数

已知函数f（x）=1?2x2x+1请用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．

Answer 1

设x₁＜x₂，由函数f（x）=

1?2x

2x+1

可得 f（x₁）-f（x₂）=

1?2x1

2x1+1

-

1?2x2

2x2+1

=

(1?2x1)(2x2+1)?(1?2x2)(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2?(2x2?2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

．
由题设可得2x2-2x1＞0，2x1＞0，2x2＞0，∴

2?(2x2?2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
 即f（x₁）-f（x₂），故有f（x₁）＞f（x₂），故 f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．