Question

如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=60°,AD⊥BC,交⊙O于F，BE⊥AC于E，BE交AD于H，直线OH交AB于M.交AC于N

求证：DH=DF
AO=AH
AM=AN

Answer 1

证明：
（1）连接CH、CF.
∵H是垂心，∠ADC=∠CDF=90°
∴∠BCH+∠ABC=90°
∵∠BCF+∠AFC=90°，∠ABC=∠AFC
∴∠BCH=∠BCF,
∴⊿CDH≌⊿CDF
∴HD=DF
﹙2﹚、﹙3﹚
作OP⊥AB于P，
∵∠BAC=60度，∠BEA=90°,
∴∠ABE=30°，
∴AE=1/2AB，
∵OP⊥AB,
∴AP=1/2AB﹙垂径定理﹚
∴AE=AP ①
∵∠AOP=∠ACB，∠BAO+∠AOP=90°，∠CAF+∠ACB=90°﹙∵∠ACD=90°﹚
∴∠BAO=∠CAF ②
又∵∠HEA=∠OPA=90°
∴⊿AEH≌⊿APO
∴AO=AH；∠BAO=∠CAF；
（4）
在等腰三角形AOH中，
AH=AO，∠AHO=∠AOH
∴∠AHM=∠AON
在⊿AON和⊿AHM中，
∵∠AHM=∠AON，AH=AO，∠OAN=∠HAM﹙等角减去公共角﹚
∴⊿AON≌⊿AHM
∴MH=ON