Question

已知sinα+3cosα=0,求2sin方α-3sinαcosα+2

Answer 1

3sinα=2sinβ，得sinβ=3sinα/2；3cosα+2cosβ=3，得cosβ=3/2-3cosα/2
3sinα-2sinβ=0
(3sinα-2sinβ)²=0
9sin²α-12sinαsinβ+4sin²β=0
3cosα+2cosβ=3
(3cosα+2cosβ)²=9
9cos²α+12cosαcosβ+4cos²β=9
两式相加得
9sin²α-12sinαsinβ+4sin²β+9cos²α+12cosαcosβ+4cos²β=9
13+12(cosαcosβ-sinαsinβ)=9
cosαcosβ-sinαsinβ=-1/3，即cos(α+β)=-1/3
cosα(3/2-3cosα/2)-3sin²α/2=-1/3
3cosα/2-3cos²α/2-3(1-cos²α)/2=-1/3
3cosα/2-3/2=-1/3
cosα=7/9
cosβ=3/2-3cosα/2=1/3
有cos(α+β)=-cosβ
α、β∈(0，π/2),则α+β∈(0，π),
则cos(α+β)=cos(π-β)，即α+β=π-β，得α+2β=π

Answer 2

sinα+3cosα=0
sinα=-3cosα
sinα/cosα=-3
tanα=-3

2sin²α-3sinαcosα+2
=(2sin²α-3sinαcosα+2)/1
=[2sin²α-3sinαcosα+2(sin²α+cos²α)]/(sin²α+cos²α)
=[4sin²α-3sinαcosα+2cos²α]/(sin²α+cos²α) 分子分母同时除以cos²α
=[4sin²α/cos²α-3sinαcosα/cos²α+2cos²α/cos²α]/(sin²α/cos²α+cos²α/cos²α)
=[4tan²α-3tanα+2]/(tan²α+1)
=[4*(-3)²-3*(-3)+2]/[(-3)²+1]
=(36+9+2)/10
=47/10

Answer 3

sinα+3cosα=0
sin²α+cos²α=1
cos²α=1/10,sin²α=9/10
cosα=-sinα/3
2sin²α-3sinαcosα+2
=2sin²α+sin²α+2
=3sin²α+2
=27/10+2
=47/10