Question

以△ABC的两边AB,AC为腰分别向外作等腰RT△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE,M,N分别是BC,DE的中点，C不在AB

以△ABC的两边AB,AC为腰分别向外作等腰RT△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE,M,N分别是BC,DE的中点，C不在AB延长线上，求证:AM与DE的位置关系
与数量关系
2）将一图中的等腰Rt三角形ABD绕点A沿逆时针方向旋转β（0<β<90°）后如图2所示，1问中得到的结论是否发生改变？并说明理由

Answer 1

连接BE，DC，取BD中点H，连接HM，HN。设BE与DC相交于K，HN交DC于Q，HM交BE于P，延长MA交DE于G
因为△CAE和△BAD为等腰△，所以AD=AB，AE=AC
又，∠BAD=∠CAE=90°，而∠BAE=∠CAE+∠BAC=90°+∠BAC，
∠DAC=∠BAD+∠BAC=90°+∠BAC
所以∠BAE=∠DAC，
所以△DAC≌△BAE，BE=DC，∠ADC=∠ABE。设AB与DC相交于O
∠ABE+∠BOK=∠ADC+∠DOA=90°，所以BE⊥DC
因M，N，H分别为BC，DE，BD的中点，所以HM∥DC，HN∥BE，HQKP为矩形，
∠NHM=90°。 HM=1/2DC，HN=1/2BE，，所以HN=HM,
连接AH，因△DAB为RT等腰三角形，所以AH⊥BD，AH=DH
∠DHN=∠AHD-∠NHA=90°-∠NHA，∠AHM=∠NHM-∠NHA=90°-∠NHA
所以∠DHN=∠AHM，△NDH≌△MAH
所以，∠AMH=∠DNH，∠AMH+∠HNG=∠DNH+∠HNG=180°
又因为∠AMH+∠HNG+∠NHM+∠NGM=360°，
∠NGM=360°-（∠AMH+∠HNG+∠NHM）=360°-（180°+90°）=90°
所以MA⊥DE

Answer 2

连接BE，DC，取BD中点H，连接HM，HN。设BE与DC相交于K，HN交DC于Q，HM交BE于P，延长MA交DE于G
因为△CAE和△BAD为等腰△，所以AD=AB，AE=AC
又，∠BAD=∠CAE=90°，而∠BAE=∠CAE+∠BAC=90°+∠BAC，
∠DAC=∠BAD+∠BAC=90°+∠BAC
所以∠BAE=∠DAC，
所以△DAC≌△BAE，BE=DC，∠ADC=∠ABE。设AB与DC相交于O
∠ABE+∠BOK=∠ADC+∠DOA=90°，所以BE⊥DC
因M，N，H分别为BC，DE，BD的中点，所以HM∥DC，HN∥BE，HQKP为矩形，
∠NHM=90°。 HM=1/2DC，HN=1/2BE，，所以HN=HM,
连接AH，因△DAB为RT等腰三角形，所以AH⊥BD，AH=DH
∠DHN=∠AHD-∠NHA=90°-∠NHA，∠AHM=∠NHM-∠NHA=90°-∠NHA
所以∠DHN=∠AHM，△NDH≌△MAH
所以，∠AMH=∠DNH，∠AMH+∠HNG=∠DNH+∠HNG=180°
又因为∠AMH+∠HNG+∠NHM+∠NGM=360°，
∠NGM=360°-（∠AMH+∠HNG+∠NHM）=360°-（180°+90°）=90°
所以MA⊥DE

Answer 3

垂直