Question

已知函数f(x)=lg(x+根号x^2+1),试完成下列问题:(1)求f(x)的定义域；(2)简单说明f(x)存在反函数

(3)求f^-1(x)的定义域和值域
求过程

Answer 1

√x²+1大于绝对值X 所以x+√x²+1大于零恒成立 所以 R
反函数存在与否 只要原函数单调即可。很明显 括号里面的是单调递增的。所以存在反函数
反函数的定义域和值域对应原函数的 值域和定义域 原来的定义域是R 所以反的值域是R 原来的值域也是R。。所以定义域也是R 至于值域为什么是R 可以从x+√x²+1来考虑 当X趋近于负无穷的时候 x+√x²+1 大于零一点点 所以lg就能取到负无穷到正无穷了。

追问

求过程

追答

..已经蛮清楚了啊。。。哪里不理解 说一下 我解释

追问

我要数字描述，不要文字描述

追答

√x²+1大于绝对值x 所以x+√x²+1大于零恒成立 （符号我打不来，你自己改）
所以 X属于R
因为x+√x²+1单调递增 而lg下也是单调递增 所以原函数单调递增 所以存在反函数（这是定理。）
值域不讲了 是R 讲定义域
因为x+√x²+1大于零恒成立 并且能取到任何正数 所以原函数的值域是R

追问

可以改成数字描述吗？我看不懂

追答

全是数字啦。。。那些文字改成符号就行了、 我实在打不出来呀。。

追问

我也是看不明白啊

追答

比如哪一步。。。你讲吧- -

追问

第二小题和第三小题

追答

额 第二小题 反函数存在的条件是原函数单调 这个你记住就可以了 大学以后会知道为什么的。。要知道我现在也可以告诉你 很简单的原理。然后复合函数的单调性，同增就增 里面的看成一个函数 求导 导数是1+x/(根号下1+x^2) 把x除下去 就 是1+1/（1+1/x^2）这个时候就会发现 导数大于零恒成立 所以原函数单调递增 。。反函数就清楚了

Answer 2

解：（1）f（x）=lg【x+（√x²+1）】 对数函数的定义域为【x+（√x²+1）】＞0（∵X²+1＞0恒成立，所以不用考虑√内定义域）
当X＞0时 【x+（√x²+1）】＞0恒成立
当X≤0时 ∵√（x²+1）＞-X 所以【x+（√x²+1）】＞0恒成立
则f（x）的定义域为R
（2）对f（x）求导数
f‘（x）=1/{【1-1/（√x²+1）】*ln10} f'（x）恒＞0的。所以f（x）在其定义域内单调递增，所以f（x）存在反函数
（3）f^-1(x)我不太明白这个是什么意思，请追问的时候补充一下。