Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 b= 5 ，c=3，sin(B+C)=2sinB ．（I）求边a

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 b= 5 ，c=3，sin(B+C)=2sinB ．（I）求边a的长；（II）求 cos(B+ π 6 ) 的值．

Answer 1

（I）在△ABC中，由正弦定理得 a sinA = b sinB ． 由sin（B+C）=2sinB及B+C=π-A得sinA=2sinB． ∴ a= bsinA sinB = 2bsinB sinB =2b=2 5 ． （II）在△ABC中，由余弦定理得 cosB= a 2 + c 2 - b 2 2ac = (2 5 ) 2 + 3 2 - ( 5 ) 2 2×3×2 5 = 2 5 5 ． ∴ sinB= 1- cos 2 B = 5 5 ． ∴ cos(B+ π 6 )=cosBcos π 6 -sinBsin π 6 = 2 5 5 × 3 2 - 5 5 × 1 2 = 2 15 - 5 10 ．