Question

如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF． （1）若

如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF． （1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；（2）若tan∠F= ，CD=a，请用a表示⊙O的半径；（3）求证：GF 2 ﹣GB 2 =DF?GF．

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Answer 1

（1）根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°，从而推出∠FBG+∠OBA=90°，从而得到OB⊥FB，再根据切线的定义证明即可。 （2） （3）连接BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，从而求出△BDG和△FBG相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG 2 ，然后代入等式左边整理即可得证。

分析：（1）根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°，从而推出∠FBG+∠OBA=90°，从而得到OB⊥FB，再根据切线的定义证明即可。 （2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ACF=∠F，根据垂径定理可得CE= CD= a，连接OC，设圆的半径为r，表示出OE，然后利用勾股定理列式计算即可求出r。 （3）连接BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，从而求出△BDG和△FBG相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG 2 ，然后代入等式左边整理即可得证。 解：（1）证明：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA。 ∵OA⊥CD，∴∠OAB+∠AGC=90°。 又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC， ∴∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°。∴OB⊥FB。 ∵AB是⊙O的弦，∴点B在⊙O上。∴BF是⊙O的切线。  （2）∵AC∥BF，∴∠ACF=∠F。 ∵CD=a，OA⊥CD，∴CE= CD= a。 ∵tan∠F= ，∴ ，即 。 解得 。 连接OC，设圆的半径为r，则 ， 在Rt△OCE中， ，即 ，解得 。 （3）证明：连接BD， ∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已证），∴∠DBG=∠F。 又∵∠F=∠F，∴△BDG∽△FBG。 ∴ ，即GB 2 =DG?GF。 ∴GF 2 ﹣GB 2 =GF 2 ﹣DG?GF=GF（GF﹣DG）=GF?DF，即GF 2 ﹣GB 2 =DF?GF。