Question

定义在区间[- 2 3 π，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x= π 6 对称，当x∈[-

定义在区间[- 2 3 π，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x= π 6 对称，当x∈[- 2 3 π， π 6 ]时，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其图象如图所示． （Ⅰ）求函数y=f（x）在[- 2 3 π，π]的表达式；（Ⅱ）求方程f（x）= 2 的解；（Ⅲ）是否存在常数m的值，使得|f（x）-m|＜2在x∈[- 2π 3 ，π]上恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）x∈[- 2π 3 ， π 6 ]，A=2， T 4 =- π 6 -(- 2π 3 ) ，∴T=2π，ω=1， 且f（x）=2sin（x+φ）过（- π 6 ，2）， ∵0＜φ＜π，∴- π 6 + φ= π 2 ，φ= 2π 3 ， f（x）=2sin（x+ 2π 3 ）， 当 π 6 ≤x≤π 时，- 2π 3 ≤ π 3 -x≤ π 6 ，f（ π 3 -x）=2sin（ π 3 -x+ 2π 3 ）=2sin（π-x）=2sinx， 而函数y=f（x）的图象关于直线x= π 6 对称，则f（x）=f（ π 3 -x），即f（x）=2sinx， π 6 ≤x≤π ， ∴f（x）= 2sin(x+ 2π 3 )，x∈[- 2π 3 ， π 6 ] 2sinx，x∈[ π 6 ，π] ； （Ⅱ）当- 2π 3 ≤x≤ π 6 时，f（x）=2sin（x+ 2π 3 ）= 2 ，sin（x+ 2π 3 ）= 2 2 ， ∴x+ 2π 3 = π 4 或 3π 4 ，即x=- 5π 12 或 π 12 ， 当 π 6 ≤x≤π 时，f（x）=2sinx= 2 ，sinx= 2 2 ，∴x= π 4 或 3π 4 ， ∴方程f（x）= 2 的解集是{- 5π 12 ， π 12 ， π 4 ， 3π 4 }， （Ⅲ）存在，假设存在，由条件得：m-2＜f（x）＜m+2在x ∈[- 2π 3 ，π] 上恒成立， 即 x∈[- 2π 3 ，π] [f(x) ] min ＞m-2 [f(x) ] max ＜m+2 ， 由图象可得： m-2＜0 m+2＞2 ，解得0＜m＜2．