Question

（2014?广州模拟）如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E为PC的中点，M为AB的中

（2014?广州模拟）如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．（1）求证：BE⊥平面PAC；（2）求证：CM∥平面BEF；（3）求三棱锥F-ABE的体积．

Answer 1

（1）证明：∵PB⊥底面ABC，且AC?底面ABC，∴AC⊥PB            …（1分）
由∠BCA=90°，可得AC⊥CB                                      …（2分）
又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC                               …（3分）
∵BE?平面PBC，∴AC⊥BE                                …（4分）
∵PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC                               …（5分）
∵PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC                               …（6分）
（2）证明：取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，
∵E为PC中点，FA=2FP，∴EF∥CG．…（7分）
∵CG?平面BEF，EF?平面BEF，∴CG∥平面BEF．…（8分）
同理可证：GM∥平面BEF．
又CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF．…（9分）
∵CM?平面CDG，∴CM∥平面BEF．…（10分）
（3）解：由（1）可知BE⊥平面PAC
又PB=BC=4，E为PC的中点，∴BE=2

2

．
∵S△AEF＝

1

3

S△PAC=

1

3

×

1

2

×AC×PC＝

8

3

2

                            …（12分）
∴V_F-ABE=V_B-AEF=

1

3

×S△AEF×BE=

32

9

∴三棱锥F-ABE的体积为

32

9

．…（14分）