Question

求助一复变函数题！

用定义讨论f(z)=|z|^2的可导性，我知道C-R可以直接得出，但是用定义怎么来？我同学说f(z)=lim[（z^2+2z△z+△z^2)-z^2]/△z=2z+△z=2z 但是我觉得这个函数和f(z)=z^2是有区别的吧，一个f(z)是实数一个是复数，所以我就用z=x+iy来算出它的模来得到f(z)=lim[(x+△x)^2+(y+△y)^2-x^2-y^2]/(△x+i△y) 接下来就不会化了 ，怎么办啊 求大神啊

Answer 1

首先f（z）=｜z｜^2=U(x,y)+iV(x,y)=x^2+y^2
△f(z)/△z=lim[(x+△x)^2+(y+△y)^2-x^2-y^2]/(△x+i△y)

你这个做法其实就是C-R方程得推导，
由于这是多远函数的极限，可以用累次极限来求，先令△y趋于0，得到lim[(x+△x)^2-x^2]/△x,再令△x趋于0得到2x,也就是U对x求偏导，
那么也可以先令△x趋于0得到lim[(y+△y)^2-y^2]/i△y，然后再令△y趋于0，得到-2yi
由于累次极限要相等所以得到x=y=0时才成立，又由于f（z）在复平面连续，从而f（z）只在（0,0）点可微

Answer 2

f(z)=|z|^2仅在z=0处可导，

复平面上其余点均不可导

参考《复变函数》（第四版），西安交通大学高等数学教研室编，高教出版社（国内高校使用最多的复变教材）

该书第38页例3已经回答了这个问题，我不废话了。

追问

我没这本书啊...我们教材不一样

追答

你们的教材是哪一本？
说出来，我找找看...

追问

湖大出版的，大学数学5

追答

第一，请问是湖南大学么？因为还有个湖北大学呢。

第二，如果你是在校生，建议去你们学校图书馆去借借我提及的那本复变教材，一般综合性或者理工类大学图书馆都应该有的。

第三，你用的这本书，我手头没有，以后有机会看到，再评论吧。