Question

已知(53x2?x2)n展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大992（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）

已知(53x2?x2)n展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大992（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

（1）令x=1得各项系数和为：4ⁿ，二项式系数和为2ⁿ，
由各项系数和比各项的二项式系数和大992，得4ⁿ-2ⁿ=992，
即有（2ⁿ+31）（2ⁿ-32）=0，则2ⁿ=32，解得n=5，
二项式的展开式的通项T_r+1=

C

r 5

（5

3	x2

）^5-r?（-x²）^r（r=0，1，2，…，5）
则展开式中二项式系数最大的项为：
T₃=

C

2 5

（5

3	x2

）^5-2?（-x²）²=1250x⁶，
T₄=

C

3 5

（5

3	x2

）^5-3?（-x²）³=-250x

22

3

；
（2）由T_r+1=

C

r 5

（5

3	x2

）^5-r?（-x²）^r（r=0，1，2，…，5），
则r=0，2，4时项的系数为正，
当r=0时，项的系数为5⁵=3125，
当r=2时，项的系数为2×5⁴=1250，
当r=4时，项的系数为5²=25，
故r=0时，展开式中项的系数最大，
即有展开式中系数最大的项为3125x

10

3

．