Question

（2014?青浦区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tanA=43，点D是斜边AB上的动点，联结CD

（2014?青浦区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tanA=43，点D是斜边AB上的动点，联结CD，作DE⊥CD，交射线CB于点E，设AD=x．（1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长；（2）当△BED是等腰三角形时，求x的值；（3）如果y=DEDB，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

Answer 1

解答：解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，tanA=

4

3

，
∴BC=8，AC=6，
∵点D为斜边AB的中点，∴CD=AD=BD=5，
∴∠DCB=∠DBC，
∵∠EDC=∠ACB=90°，
∴△EDC∽△ACB，
∴

DE

CD

=

AC

BC

，即

DE

5

=

6

8

，
则DE=

15

4

；

（2）分两种情况情况：
（i）当E在BC边长时，
∵△BED为等腰三角形，∠BED为钝角，
∴EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EDC=∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠A，
∴CD=AC，
作CH⊥AB，垂足为H，那么AD=2AH，
∴

AH

AC

=

3

5

，即AH=

18

5

，
∴AD=

36

5

，即x=

36

5

；
（ii）当E在CB延长线上时，
∵△BED为等腰三角形，∠DBE为钝角，
∴BD=BE，
∴∠BED=∠BDE，
∵∠EDC=90°，
∴∠BED+∠BCD=∠BDE+∠BDC=90°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=BC=8，
∴AD=x=AB-BD=10-8=2；

（3）作DM⊥BC，垂足为M，
∵DM∥AC，
∴

DM

AC

=

BM

BC

=

BD

BA

，
∴DM=

3

5

（10-x），BM=

4

5

（10-x），
∴CM=8-

4

5

（10-x）=

4

5

x，CD=

x2? 36 5 x+36

，
∵△DEM∽△CDM，
∴

DE

DM

=

CD

CM

，即DE=

DM?CD

CM

=

3(10?x)

4x

x2? 36 5 x+36

，
∴y=

DE

DB

=

3(10?x) 4x x2? 36 5 x+36

10?x

，
整理得：y=

3

20x

25x2?180x+900

（0＜x＜10）．

Answer 2

（1）解：过点D作DF垂直BC于F
所以角DFB=角DFC=90度
因为角ACB=90度
所以角ACB=角DFB=90度
所以DF平行AC
所以DF/AC=AD/AB=BF/BC
因为D是AB的中点
所以AD=BD=1/2AB
所以DF=1/2AC
BF=CF=1/2BC
因为三角形ABC是直角三角形
所以tanA=BC/AC
cosA=AC/BC
CD是直角三角形ABC的中线
所以CD=1/2AB=5
因为tanA=4/3
AB=10
所以AC=6 BC=8
DF=3
CF=4
因为CD垂直DE
所以角CDE=90度
所以三角形CDE是直角三角形
所以CD^2+DE^2=CE^2
角CDE=角DFC=90度
因为角BCD=角BCD
所以三角形DCF相似三角形ECD相似（相似）
所以CD/CF=CE/CD
所以CD^2=CF*CE
CE=25/4
DE=15/4
(2)解：过点C作CH垂直AB于H
所以AH是三角形ACD的垂线
因为三角形BED是等腰三角形
所以BE=DE
所以角EBD=角EDB
因为角ACB+角EBD+角A=180度
角ACB=90度
所以角EBD+角A=90度
因为角ADC+角CDE+角EDB=180度
角CDE=90度（已证）
所以角ADC+角EDB=90度
所以角A=角ADC
所以AC=DC
所以三角形ACD是等腰三角形
所以CH是等腰三角形ADC的垂直平分线
所以AH=DH=1/2AD
角AHC=90度
所以三角形AHC是直角三角形
所以cosA=AH/AC
因为cosA=3/5(已解）
AC=6
所以AH=18/5
AD=36/5
因为AD=X
所以X=36/5
(3)因y=DEDB中间不知是什么符号，所以无法解答

Answer 3

解：如图

Answer 4

tanA=43，？？？？
（3）如果y=DEDB，？？？？