Question

狄利克雷函数无极限

x趋向a,要过程

Answer 1

首先要说一点关于实数系的理论，实数分为有理数和无理数，而有理数和无理数在实数集上都是稠密的，若a和b是实数（无论是有理数还是无理数），如果a<b，那么一定存在有理数c和无理数d，使得a<c<b，a<d<b，也就是说任意两个实数之间都既存在有理数又存在无理数。在理解这些的基础上，考虑如果让x趋于x0，无论x0是有理数还是无理数，都可以分别选有理数列rn和无理数列sn来趋于x0，也就是说有理数列和无理数列都有趋于一个实数的“能力”，这种能力的来源就是稠密性，而它不是任意数列都有的，例如让整数数列趋于0.5是不可能的。现在再来看狄利克雷函数在任意点x=a处的极限，根据上面的论述，可取有理数列rn和无理数列sn，让rn和sn都趋于a，但此时limD(rn)=1，limD(sn)=0，由于函数极限存在要求x沿任意数列xn趋于x0时limf(xn)都存在且相等，而狄利克雷函数沿有理数列和无理数列趋于a时的极限不相等，因此函数极限不存在。