Question

数学几何，无图。

过四边形ABCD的对角线BD的中点E作AC的平行线FEG，与AB、AC的交点分别为F、G，求证：AG或FC平分此四边形的面积。
对不起我打错了。。。。是与AB,BC的交点 来着

Answer 1

1、若E与AC重合
作BM垂直AC于M、DN垂直AC于N
可证三角形BME与DNE全等，则BM=DN
则三角形ABC面积=AC*BM/2=AC*DN/2=三角形ADC面积
结论成立

2、若E与AC不重合
作BM垂直AC于M，交FG于M‘；作DN’垂直FG于N‘，交AC于N
可证三角形BM’E与DN‘E全等，则BM’=DN‘
则三角形ABG面积=ABC-AGC=AC*BM/2-AC*MM'/2=AC*(BM-MM')/2=AC*BM'/2
四边形ADCG面积=ADC+AGC=AC*DN/2+AC*NN'/2=AC*(DN+NN')/2=AC*DN'/2=AC*BM'/2=三角形ABG面积
即AG平分四边形ABCD的面积
同理可证FC平分四边形ABCD的面积

Answer 2

证明：连接CE,AE,设CF与BD相交于点M,,CF与AE相交于点O
因为点E是BD的中点
所以S三角形DCE=S三角形BEC (1)
S三角形ADE=S三角形AEB (2)
(1)+(2)
所以S三角形DCE+S三角形ADE=S三角形BEC+S三角形AEB
因为FEG平行AC
所以S三角形AEF=S三角形CEF
因为S三角形AEB=S三角形AEF+S三角形BEF
S 三角形CFB=S三角形CEF+S三角形BEF+S三角形BEC
S三角形AOE+S三角形OEF=S三角形OEF+S三角形CME+S三角形OME
所以S三角形AOF=S三角形OME+S三角形CME
因为S三角形DCE=S三角形DCM+S三角形CME
S三角形ADE=S四边形DAOM+S三角形OME
S四边形DAFC=S三角形DCM+S三角形CME+S四边形DAOM+S三角形OME
所以S四边形DAFC=S三角形CFB
所以FC平分此四边形的面积
同理可证AG平分此四边形的面积

Answer 3

题目有误，E就是AC的中点，不可能作平行线。

Answer 4

应该是无解的吧······

追问

啊？

追答

AC平行线怎么与AC交于G？