Question

设函数f(X)是[0,+∞)上的非负的单调增函数,b=f(b)>0,0≤X0≤b,Xn+1=f(Xn)(n=0,1,2...)证明数列{Xn}收敛

Answer 1

用数学归纳法：
当n=1时，x_1=f(x_0)<=f(b)=b；
设n=k时，x_k<=b，从而x_(k+1)=f(x_k)<=f(b)=b即n=k+1时成立，故x_n<=b；
也易知x_n>=0，故序列{x_n}有界。

其次，假定x_1>=x_0，则x_2=f(x_1)>=f(x_0)=x_1，…x_(n+1)=f(x_n)>=f(x_(n-1))=x_n推得x_n是单调递增序列；且x_n<=b有上界，故序列{x_n}收敛；
假定x_1<=x_0，则x_2=f(x_1)<=f(x_0)=x_1，…x_(n+1)=f(x_n)<=f(x_(n-1))=x_n推得x_n是单调递减序列；且x_n>=0有下界，故序列{x_n}收敛。

综上所述，序列{x_n}是收敛序列。

追问

“且x_n<=b有上界”
怎么得到x_n<=b的呢？按照题目，x_0<=b,只能得到x_1=f(x_0)<=f(b)=b

追答

数学归纳法得证的结论。