Question

如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE。 （1）求证：CE=CF；（

如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE。 （1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长。

Answer 1

解：（1）证明△CBE≌△CDF，即得CE=CF。
（2）证明△ECG≌△FCG，   ∴EG=FG，   即GE=FG=GD+DF=GD+BE。
（3）解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G， 在直角梯形ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠A=∠B=90°， 又∠CGA=90°，AB=BC，  ∴四边形ABCD 为正方形， ∴AG=BC=12，已知∠DCE=45°， 根据（1）（2）可知，ED=BE+DG， 设DE=x，则DG=x-4，∴AD=16-x， 在Rt△AED中， ， 即 ，解这个方程，得：x=10， ∴DE=10。