Question

如图，点A、B分别是椭圆 x 2 36 + y 2 20 =1 的长轴的左、右端点，F为椭圆

如图，点A、B分别是椭圆 x 2 36 + y 2 20 =1 的长轴的左、右端点，F为椭圆的右焦点，直线PF的方程为 3 x+y-3 2 =0 ，且PA⊥PF．（Ⅰ）求直线PA的方程；（Ⅱ）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

Answer 1

（I）由题设知A（-6，0），B（6，0），直线AP的斜率为 3 3 ，…（2分） 直线AP的方程为 y= 3 3 (x+6) ，即x- 3 y+6=0．…（4分） （Ⅱ）设M（m，0）（-6≤m≤6），…（5分） 由于M到直线AP的距离等于MB， |m+6| 1+( 3 ) 2 =|m-6| ．…（6分） ∵-6≤m≤6，∴ m+6 2 =6-m 解得m=2， M的坐标为（2，0）．…（8分） 设P（x，y）是椭圆上任意一点，则 x 2 36 + y 2 20 =1 ． d= ( x-2) 2 + y 2 = 4 9 x 2 -4x+24 当x= 9 2 时d 有最小值 15