Question

已知方程x2+y2-2x-4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交

已知方程x2+y2-2x-4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且OM?ON＝0（其中O为坐标原点）求m的值；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

Answer 1

（1）x²+y²-2x-4y+m=0即（x-1）²+（y-2）²=5-m（2分）
若此方程表示圆，则5-m＞0∴m＜5

（2）

x+2y?4＝0 x2+y2?2x?4y+m＝0

x=4-2y代入得5y²-16y+8+m=0
∵△=（-16）²-4×5×（8+m）＞0
∴m＜

24

5

y1+y2＝

16

5

，y1y2＝

8+m

5

∵

OM

?

ON

＝0得出：x₁x₂+y₁y₂=0而x₁x₂=（4-2y₁）?（4-2y₂）=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂
∴5y₁y₂-8（y₁+y₂）+16=0，∴m＝

8

5

满足m＜

24

5

故的m值为

8

5

．

（3）设圆心为（a，b），且O点为以MN为直径的圆上的点x1+x2＝(4?2y1)+(4?2y2)＝8?2(y1+y2)＝

8

5

a＝

x1+x2

2

＝

4

5

，b＝

y1+y2

2

＝

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