a、b∈R,且|a|<1,|b|<1,则无穷数列:1,(1+b)a,(1+b+b2)a2,…,(1+b+b2+…+bn-1)an-1…的和

a、b∈R,且|a|<1,|b|<1,则无穷数列:1,(1+b)a,(1+b+b2)a2,…,(1+b+b2+…+bn-1)an-1…的和为()A.1(1?a)(1?b)... a、b∈R,且|a|<1,|b|<1,则无穷数列:1,(1+b)a,(1+b+b2)a2,…,(1+b+b2+…+bn-1)an-1…的和为(  )A.1(1?a)(1?b)B.11?abC.2(1?a)(1?ab)D.1(1?a)(1?ab) 展开
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众神_暧昧110
2014-10-12 · 超过62用户采纳过TA的回答
知道答主
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∵an=(1+b+b2+…+bn-1)an-1
=
1?bn
1?b
?an-1
=
1
1?b
(an-1-an-1bn),
∵|a|<1,|b|<1,
∴无穷数列:1,(1+b)a,(1+b+b2)a2,…,(1+b+b2+…+bn-1)an-1…的和:
S=
lim
n→∞
1
1?b
[
1?an
1?a
-
b(1?anbn)
1?ab
]
=
lim
n→∞
[
1
(1?b)(1?a)
-
an
(1?b)(1?a)
-
b
(1?b)(1?ab)
+
b
(1?a)(1?ab)
?(ab)n
]
=
1
(1?b)(1?a)
-
b
(1?b)(1?ab)

=
1?ab?b(1?a)
(1?b)(1?a)(1?ab)

=
1
(1?a)(1?ab)

故选D.
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