Question

已知，如图△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，

已知，如图△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．求证：（1）BF=AC；（2）CE=12BF．

Answer 1

（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°-45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中
∵

∠BDF＝∠CDA ∠A＝∠DFB BD＝DC

，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF=AC；

（2）证明：∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
在△AEB和△CEB中
∵

∠AEB＝∠CEB BE＝BE ∠ABE＝∠CBE

，
∴△AEB≌△CEB（ASA），
∴AE=CE，
即CE=

1

2

AC，
∵由（1）知AC=BF，
∴CE=

1

2

BF．