Question

已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1=3，b1=1，b2+S2=12

已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1=3，b1=1，b2+S2=12，S2=b2q．（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）设cn=3bn-λ?2an3，（λ∈R），若数列{cn}是递增数列，求λ的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由S₂=a₁+a₂=3+a₂，b₂=b₁q=q，且b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
∴q+3+a₂=12，3+a₂=q²，
消去a₂得：q²+q-12=0，解得q=3或q=-4（舍），
∴a₂=q²-3=6，则d=a₂-a₁=6-3=3，
从而a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n，b_n=3^n-1；
（Ⅱ）∵a_n=3n，b_n=3^n-1，∴c_n=3b_n-λ?2

an

3

=3ⁿ-λ?2ⁿ．
∵c_n+1＞c_n对任意的n∈N^*恒成立，即：3ⁿ⁺¹-λ?2ⁿ⁺¹＞3ⁿ-λ?2ⁿ恒成立，
整理得：λ?2ⁿ＜2?3ⁿ对任意的n∈N^*恒成立，
即：λ＜2?(

3

2

)n对任意的n∈N^*恒成立．
∵y=2?(

3

2

)n在区间[1，+∞）上单调递增，
∴y_min=3，
∴λ＜3．
∴λ的取值范围为（-∞，3）．