Question

设g（x）可导，且x→0时，g（x）是x的高阶无穷小，则当x→0时，必（　　）A．g′（x）是无穷小量B．∫x0g

设g（x）可导，且x→0时，g（x）是x的高阶无穷小，则当x→0时，必（　　）A．g′（x）是无穷小量B．∫x0g（t）dt是x2的高阶无穷小C．xg(x)是无穷大量D．若G′（x）=g（x），则G（x）是x的高阶无穷小

Answer 1

由已知条件可得，

lim

x→0

g(x)

x

=0．
A错误，反例：取g（x）=

x2sin 1 x ，  x≠0 0，  x＝0

，则

lim

x→0

g(x)

x

=

lim

x→0

xsin

1

x

=0，故当x→0时，g（x）为x的高阶无穷小，但是g′（x）=

2xsin 1 x ?cos 1 x ，  x≠0 0，  x＝0

，当x→0时，g′（x）不是无穷小量．
B正确：利用洛必达法则可得，

lim

x→0

∫ x 0 g(t)dt

x2

=

lim

x→0

g(x)

2x

=

1

2

lim

x→0

g(x)

x

=0，故

∫

x 0

g(t)dt是x²的高阶无穷小．
C错误：反例：取g（x）=0，此时

x

g(x)

没有意义．
D错误，反例：取G（x）=

1

3

x3+1，g（x）=x²，则g（x）是x的高阶无穷小，且G′（x）=g（x），但

lim

x→0

G(x)=1，G（x）不是x的高阶无穷小．
综上，正确选项为B，
故选：B．