Question

设二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，则a2+b2的最小值是（　

设二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，则a2+b2的最小值是（　　）A．1B．2C．10D．1100

Answer 1

把等式看成关于a，b的直线方程：（x²-1）a+2xb+x-2=0，
由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，
即

a2+b2

≥

|x?2|

(x2?1)2+(2x)2

，
∴a²+b²≥(

x?2

1+x2

)2=

1

(x?2+ 5 x?2 +4)2

≥

1

100

，
因为x-2+

5

x?2

在x∈[3，4]是减函数，上述式子在x=3，a=-

2

25

，b=-

3

50

时取等号，
故a²+b²的最小值为

1

100

．