Question

如图，抛物线y=¼x2+bx+c与x轴交于A（5,0），B（-1,0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C

求该抛物线的解析式
求点A关于直线y=2x的对称点A'的坐标，判定点A'是否在抛物线上，说明理由
点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA'于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形。求出P点

Answer 1

答：

1）

抛物线y=x²/4+bx+c经过点A（5,0）和点B（-1,0）

则抛物线为y=(1/4)(x+1)(x-5)

所以：抛物线为y=x²/4 -x -5/4

2）

A和A'关于直线y=2x对称，则AA'的斜率为-1/2

直线AA'为y=(-1/2)(x-5)

联立直线y=2x解得交点为（1,2）

则点A（5,0）和点A'关于点（1,2）对称

所以：点A'为（-3,4）

代入抛物线方程：y=(-3)²/4+3-5/4=4

所以：点A'在抛物线上

3）

AC直线为x=5，与y=2x的交点C（5,10）

设抛物线上点P为（p，p²/4-p-5/4），直线PM为x=p

依据题意有：-3<p<5

直线A'C斜率为k=(10-4)/(5+3)=3/4

因为：PACM是平行四边形

所以：PA//MC，PA的斜率k=3/4

直线PA为y=(3/4)(x-5)

与抛物线联立：y=(3/4)(x-5)=x²/4-x-5/4

所以：x²-7x+10=0

解得：x1=5，x2=2

所以：点P为（2，-9/4）

所以：直线PM为x=2

符合-3<p<5

综上所述，存在点P（2，-9/4)满足题意

追问

哥，斜率，联立是什么？

追答

斜率就是直线y=kx+b中的k就是斜率
直线平行，则k相等
联立就是组成方程组解答交点....