Question

如图，直线y= -x+3与x轴，y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线 与x轴的另一交点为A，顶点为P，且

如图，直线y= -x+3与x轴，y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线 与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2． （1）求A点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

（1）（1，0）（2）ｙ＝2ｘ －4ｘ－6  （3）存在

试题分析：【探究】证明：过点F作GH∥AD，交AB于H，交DC的延长线于点G ∵AH∥EF∥DG，AD∥GH ∴四边形AHFE和四边形DEFG都是平行四边形 ∴FH＝AE，FG＝DE ∵AE＝DE ∴FG＝FH ∵AB∥DG ∴∠G＝∠FHB，∠GCF＝∠B ∴△CFG≌△BFH ∴FC＝FB     4分 【知识应用】过点C作CM⊥ｘ轴于点M，过点A作AN⊥ｘ轴于点N，过点B作BP⊥ｘ轴于点P 则点P的坐标为（ｘ ，0），点N的坐标为（ｘ ，0） 由探究的结论可知，MN＝MP ∴点M的坐标为（ ，0） ∴点C的横坐标为 同理可求点C的纵坐标为 ∴点C的坐标为（ ， ）    8分 【知识拓展】 当AB是平行四边形一条边，且点C在ｘ轴的正半轴时，AD与BC互相平分，设点C的坐标为（ａ，0），点D的坐标为（0，ｙ） 由上面的结论可知：－6＋ａ＝4＋0，－1＋0＝5＋ｂ ∴ａ＝10，ｂ＝－6 ∴此时点C的坐标为（10，0），点D的坐标为（0，－6） 同理，当AB是平行四边形一条边，且点C在ｘ轴的负半轴时 求得点C的坐标为（－10，0），点D的坐标为（0，6） 当AB是对角线时 点C的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，4） 14 点评：本题考查抛物线的知识，要求考生会用待定系数法求抛物线的解析式，掌握抛物线的性质