Question

如图，△ ABC 内接于⊙ O ，且∠ B = 60°．过点 C 作圆的切线 l 与直径 AD 的延长线交于点 E ， AF ⊥

如图，△ ABC 内接于⊙ O ，且∠ B = 60°．过点 C 作圆的切线 l 与直径 AD 的延长线交于点 E ， AF ⊥ l ，垂足为 F ， CG ⊥ AD ，垂足为 G ． （1）求证：△ ACF ≌△ ACG ；（2）若 AF = 4 ，求图中阴影部分的面积．

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Answer 1

（1）略 （2）

（1）      如图，连结 CD ， OC ，则∠ ADC =∠ B = 60°． ∵ AC ⊥ CD ， CG ⊥ AD ，∴∠ ACG =∠ ADC = 60°． 由于∠ ODC = 60°， OC = OD ，∴△ OCD 为正三角形，得∠ DCO = 60°． 由 OC ⊥ l ，得∠ ECD = 30°，∴∠ ECG = 30° + 30° = 60°． 进而∠ ACF = 180°－2×60° = 60°，∴ △ ACF ≌△ ACG ． （2）在Rt△ ACF 中，∠ ACF = 60°， AF = 4 ，得 CF = 4． 在Rt△ OCG 中，∠ COG = 60°， CG = CF = 4，得 OC = ． 在Rt△ CEO 中， OE = ． 于是 S 阴影 = S △ CEO － S 扇形 COD = = ．