Question

将正整数2，3，4，5，6，7，…，n，…作如下分类：（2），（3，4），（5，6，7），（8，9，10，11），…

将正整数2，3，4，5，6，7，…，n，…作如下分类：（2），（3，4），（5，6，7），（8，9，10，11），…，分别计算各组包含的正整数的和，记为S 1 ，S 2 ，S 3 ，S 4 ，…，记T n =S 1 +S 3 +S 5 +…+S 2n-1 ．（1）分别求T 1 ，T 2 ，T 3 的值；（2）请猜测T n 的结果，并用数学归纳法证明．

Answer 1

（1）第n组有n个从小到大连续的正整数，且第1个数是[1+2+3+…+（n-1）]+2= n(n-1) 2 +2， 故S n =n[ n(n-1) 2 +2]+ n(n-1) 2 = n( n 2 +3) 2 +2（n∈N * ）． S 1 =2，S 3 =18，S 5 =70，T 1 =S 1 =2， T 2 =S 1 +S 3 =2+18=20， T 3 =S 1 +S 3 +S 5 =2+18+70=90．…（6分） （2）由（1）知T 1 =2=1×2=1 2 ×（1 2 +1）， T 2 =20=4×5=2 2 ×（2 2 +1）， T 3 =90=9×10=3 2 ×（3 2 +1） 猜想：T n =n 2 （n 2 +1），（n∈N * ）．      …（10分） 证明：（ⅰ）当n=1时，已知成立． （ⅱ）假设n=k（k∈N * ）时，猜测成立，即T k =k 2 （k 2 +1）．则n=k+1时， T k+1 =T k +S 2k+1 =k 2 （k 2 +1）+ (2k+1)[ (2k+1) 2 +3] 2 ， 因为（k+1） 2 [（k+1） 2 +1]-k 2 （k 2 +1）- (2k+1)[ (2k+1) 2 +3] 2 =[（k+1） 4 -k 4 ]+[（k+1） 2 -k 2 ]- (2k+1) (4k 2 +4k+4] 2 =[（k+1） 2 +k 2 ][（k+1） 2 -k 2 ]+（2k+1）-（2k+1）（2k 2 +2k+2） =（2k+1）（2k 2 +2k+2）-（2k+1）（2k 2 +2k+2） =0， 所以k 2 （k 2 +1）+ (2k+1)[ (2k+1) 2 +3] 2 =（k+1） 2 [（k+1） 2 +1]，即n=k+1时，猜测成立． 根据（ⅰ）（ⅱ），T n =n 2 （n 2 +1）（n∈N * ）成立． …（16分）