Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB= ，点E是棱PB的中点。 （1）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB= ，点E是棱PB的中点。 （1）证明：AE⊥平面PBC；（2）若AD=1，求二面角B-EC-D的平面角的余弦值。

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Answer 1

解：（1）证明：如图，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB 又PA=AB，故△PAB为等腰直角三角形， 而点E是棱PB的中点，所以AE⊥PB 由题意知BC⊥AB， 又AB是PB在面ABCD内的射影， 由三垂线定理，得BC⊥PB， 从而BC⊥平面PAB， 故BC⊥AE 因AE⊥PB，AE⊥BC， 所以AE⊥平面PBC。 （2）由（1）知BC⊥平面PAB， 又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE， 在Rt△PAB中， ， 从而在Rt△DAE中， 在Rt△CBE中， 又 ， 所以△CED为等边三角形 取CE的中点F，连接DF，则DF⊥CE 因BE=BC=1，且BC⊥BE，则△EBC为等腰直角三角形， 连接BF，则BF⊥CE， 所以∠BFD为所求的二面角的平面角 连接BD，在△BFD中， 所以 故二面角B-EC-D的平面角的余弦值为 。