Question

高数定积分上下限问题

（1）定积分的上下限用区间表示的话，是闭区间还是开区间？（2）在证明积分不等式的时候可以把自变量的范围去掉区间端点或者有限的几个点使得结论成立吗？（3）在这个区间内，本来被积函数是可以取到最值的，但是，为了能够证明结论，而把等号去掉，只写出不等于最值的情形，并把原来的闭区间写成开区间，但是在开区间内仍然是可以取到一个最值的，这样对吗？希望一一解答，谢谢！

Answer 1

1、如果只是定积分的话，必是闭区间。但可以证明，改变定积分的有限个点的函数值
不影响可积性，也不影响积分值，因此其实改为开区间也没有问题。
2、如果只是涉及到定积分的不等式（就是不等式里只有定积分的值），
根据上面的结论知道没有影响的。
3、最好发一下具体问题，没有具体问题无法回答。

追问

1）证明不等式

书上说的是，当0<x<1时，被积函数2/3<fx<1/√2，证毕。但是在这个开区间上也会取到2/3的，为什么没有等号？这个分母上是2+x-x²，打错了，不好意思

2）证明

书上写的是0<x<π/4时，0<x<tanx<1,然后列出这个积分限上的三个不等积分就整完了。为什么这个地方也没有等号，只有小于号？

追答

那就是我说的，f(x)连续，若f(x)>=0，且只要有一个点的函数值非零（也即是f(x)只要不是零函数），则积分值>0。
其实利用连续的性质你可以自己试着证明的。
两道题都是类似的用这个结论：比如2
1>=tanx>=x>=0，且不是恒等关系，则积分值必然是严格大于关系。因此一般
情况下就不考虑几个特殊的相等的点，直接写为
0<x<tanx<1，则积分值有严格不等号关系。