已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AC＝BC＝52，点D是AC上一个动点，连接AD、CD和BD，BD与AC相
已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AC＝BC＝52，点D是AC上一个动点，连接AD、CD和BD，BD与AC相交于点E，过点C作PC⊥CD于C，PC与BD相...
已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AC＝BC＝52，点D是AC上一个动点，连接AD、CD和BD，BD与AC相交于点E，过点C作PC⊥CD于C，PC与BD相交于点P，连接OP和AP．（1）求证：AD=BP；（2）如图1，若tan∠ACD＝12，求证：DC∥AP；（3）如图2，设AD=x，四边形APCD的面积为y，求y与x之间的关系式．
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（1）证明：∵PC⊥CD，AB为⊙O的直径，
∴∠DCP=∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠DCP=∠ACD+∠ACP，∠ACB=∠ACP+∠BCP，
∴∠ACD=∠BCP，
∵AC=BC，且∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∴∠BDC=∠BAC=45°，
∴△DCP是等腰直角三角形
∴DC=PC，又∠ACD=∠BCP，AC=BC，
∴△ADC≌△BPC，
∴AD=BP；（3分）
（2）证明：∵∠ABD=∠ACD，
∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝
（4分）
∴
＝
，
∴
＝
，
∴P是BD的中点，（5分）
∴AD=PB=PD，
∴△ADP是等腰直角三角形，
∴∠APD=45°，又∠BDC=45°，
∴∠APD=∠BDC，
∴DC∥AP；（6分）
（3）解：∵△ADC≌△BPC，
∴S△ACD=S△BCP，
过P作PF⊥AB垂足为F，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BFP=∠ADB，∠ABD=∠PBF，
∴△PBF∽△ABD，
∴
=
，
∴
=
，
则PF=
，
∴S△ABP=
×10×
=
x2，
∵AC＝BC＝5
，△ABC为等腰直角三角形，
∴S△ABC=
×5
×5
=25，
则y=S△ACP+S△ACD=S△ACP+S△BCP
=S△ABC-S△ABP
=25?
∴∠DCP=∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠DCP=∠ACD+∠ACP，∠ACB=∠ACP+∠BCP，
∴∠ACD=∠BCP，
∵AC=BC，且∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∴∠BDC=∠BAC=45°，
∴△DCP是等腰直角三角形
∴DC=PC，又∠ACD=∠BCP，AC=BC，
∴△ADC≌△BPC，
∴AD=BP；（3分）
（2）证明：∵∠ABD=∠ACD，
∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝
| 1 |
| 2 |
∴
| AD |
| BD |
| 1 |
| 2 |
∴
| PB |
| BD |
| 1 |
| 2 |
∴P是BD的中点，（5分）
∴AD=PB=PD，
∴△ADP是等腰直角三角形，
∴∠APD=45°，又∠BDC=45°，
∴∠APD=∠BDC，
∴DC∥AP；（6分）
（3）解：∵△ADC≌△BPC，
∴S△ACD=S△BCP，
过P作PF⊥AB垂足为F，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BFP=∠ADB，∠ABD=∠PBF，
∴△PBF∽△ABD，
∴
| PF |
| AD |
| PB |
| AB |
∴
| PF |
| x |
| x |
| 10 |
则PF=
| x2 |
| 10 |
∴S△ABP=
| 1 |
| 2 |
| x2 |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
∵AC＝BC＝5
| 2 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
则y=S△ACP+S△ACD=S△ACP+S△BCP
=S△ABC-S△ABP
=25?
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