（2014?台州一模）如图，P是⊙O：x2+y2=4上任意一点，PQ⊥x轴，Q为垂足．设PQ的中点为M．（1）求点M的轨
（2014?台州一模）如图，P是⊙O：x2+y2=4上任意一点，PQ⊥x轴，Q为垂足．设PQ的中点为M．（1）求点M的轨迹Γ的方程；（2）设动直线l与⊙O相交所得的弦长为...
（2014?台州一模）如图，P是⊙O：x2+y2=4上任意一点，PQ⊥x轴，Q为垂足．设PQ的中点为M．（1）求点M的轨迹Γ的方程；（2）设动直线l与⊙O相交所得的弦长为定值23，l与（1）中曲线Γ交于两点A，B，线段AB的中垂线交⊙O于E，F，求|EF|的最小值．
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（1）设M（x，y），则P（x，2y）
∵P在圆x2+y2=4上，
∴x2+4y2=4，
∴点M的轨迹Γ的方程是x2+4y2=4；
（2）设l：y=kx+m（k≠0），则
∵动直线l与⊙O相交所得的弦长为定值2
，圆的半径为2，
∴O到直线l的距离为1，即
=1，
直线代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+（4m2-4）=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
，
∴AB的中点为（-
，
），AB的中垂线方程为y-
=-
（x+
），
化简可得x+ky+
=0，
O到直线EF的距离为d=
，d最大时，|EF|最小．
将
∵P在圆x2+y2=4上，
∴x2+4y2=4，
∴点M的轨迹Γ的方程是x2+4y2=4；
（2）设l：y=kx+m（k≠0），则
∵动直线l与⊙O相交所得的弦长为定值2
| 3 |
∴O到直线l的距离为1，即
| |m| | ||
|
直线代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+（4m2-4）=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
| 8km |
| 1+4k2 |
∴AB的中点为（-
| 4km |
| 1+4k2 |
| m |
| 1+4k2 |
| m |
| 1+4k2 |
| 1 |
| k |
| 4km |
| 1+4k2 |
化简可得x+ky+
| 3km |
| 1+4k2 |
O到直线EF的距离为d=
|
| ||
|
将
| |m| | ||
|
