Question

在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上．（1）如图1，△ABC和△A

在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上．（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．①求证：△ABP≌△ACE．②∠ECM的度数为______°．（2）①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM的度数为______°．②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM的度数为______°．（3）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．

Answer 1

（1）①证明：如图1，

∵△ABC与△APE均为正三角形，
∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，
∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC 
即∠BAP=∠CAE，
在△ABP和△ACE中，

AB＝AC ∠BAP＝∠CAE AP＝AE

，
∴△ABP≌△ACE （SAS）．
②∵△ABP≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=60°，
∵∠ACB=60°，
∠ECM=180°-60°-60°=60°．
故答案为：60．
（2）①如图2，作EN⊥BN，交BM于点N

∵四边形ABCD和APEF均为正方形，
∴AP=PE，∠B=∠ENP=90°，
∴∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=90°，
即∠BAP=∠NPE，
在△ABP和△PNE中，

∠B＝∠ENP ∠BAP＝∠NPE AP＝PE

，
∴△ABP≌△ACE （AAS）．
∴AB=PN，BP=EN，
∵BP+PC=PC+CN=AB，
∴BP=CN，
∴CN=EN，
∴∠ECM=∠CEN=45°
②如图3，作EN∥CD交BM于点N，

∵五边形ABCDF和APEGH均为正五边方形，
∴AP=PE，∠B=∠BCD，
∵EN∥CD，
∴∠PNE=∠BCD，
∴∠B=∠PNE
∵∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=180°-∠B，
即∠BAP=∠NPE，
在△ABP和△PNE中，

∠B＝∠ENP ∠BAP＝∠NPE AP＝PE

，
∴△ABP≌△ACE （AAS）．
∴AB=PN，BP=EN，
∵BP+PC=PC+CN=AB，
∴BP=CN，
∴CN=EN，
∴∠NCE=∠NEC，
∵∠CNE=∠BCD=108°，
∴∠ECM=∠CEN=

1

2

（180°-∠CNE）=

1

2

×（180°-108°）=36°．
 故答案为：45，36．
（3）如图4中，过E作EK∥CD，交BM于点K，

Answer 2

望采纳，谢谢啦O(∩_∩)O