Question

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且a3=5，S3=9（1）求首项a1和公差d；（2）若存在数列{bn}，使

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且a3=5，S3=9（1）求首项a1和公差d；（2）若存在数列{bn}，使a1b1+a2b2+L+anbn=5+（2n-3）2n+1对任意正整数n都成立，求数列{bn}的前n项的和Tn．

Answer 1

（1）由题意可得

a1+2d＝5 3a1+ 3(3?1) 2 d＝9

，解得

a1＝1 d＝2

；
（2）由题意得，当n≥2时，有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=5+（2n-3）2ⁿ⁺¹，①
又a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=5+（2n-5）2ⁿ，②
①-②得，a_nb_n=5+（2n-3）2ⁿ⁺¹-[5+（2n-5）2ⁿ]=（2n-1）2ⁿ，
∴当n≥2时，b_n=2ⁿ，
又当n=1时，a₁b₁=5+（2×1-3）2²=1，∴b₁=1；
∴b_n=

1，n＝1 2n，n≥2

；
当n≥2时，T_n=1+4+8+…+2ⁿ=1+

4(2n?1?1)

2?1

=2ⁿ⁺¹-3，
又当n=1时，T₁=1，符合上式，
T_n=2ⁿ⁺¹-3；