Question

已知F1、F2为双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为右支上任意一点，若|PF1|2|PF2|的最小值为8

已知F1、F2为双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为右支上任意一点，若|PF1|2|PF2|的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　）A．（1，2]B．（1，3]C．[2，3]D．[3，+∞）

Answer 1

由定义知：|PF₁|-|PF₂|=2a，
|PF₁|=2a+|PF₂|

|PF1|2

|PF2|

=

(2a+|PF2|)2

|PF2|

=

4a2

|PF2|

+4a+|PF2| ≥8a，
当且仅当

4a2

|PF2|

=|PF2|，
即|PF₂|=2a时取得等号
设P（x₀，y₀） （x₀≤-a）
由焦半径公式得：
|PF₂|=-ex₀-a=2a
ex₀=-3a
e=-

3a

x0

≤3
又双曲线的离心率e＞1
∴e∈（1，3]
故选B．