Question

已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，bn=an+1．（1）证明：数列{bn}是等比数列；（2）令cn＝n+1an+1，求数

已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，bn=an+1．（1）证明：数列{bn}是等比数列；（2）令cn＝n+1an+1，求数列{cn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）∵a₁=1，a_n+1=2a_n+1，b_n=a_n+1，a_n+1
∴

bn+1

bn

=

an+1+1

an+1

=2，又b₁=a₁+1=2，
∴数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）知，b_n=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1；…（5分）
∴c_n=

n+1

an+1

=

n+1

2n

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=

2

21

+

3

22

+…+

n+1

2n

，①
∴

1

2

S_n=

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

，②
①-②得：

1

2

S_n=

2

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=

1

2

+

1 2 [1?( 1 2 )n]

1? 1 2

-

n+1

2n+1

=

1

2

+1-(

1

2

)n-

n+1

2n+1

，
∴S_n=3-(

1

2

)n?1-（n+1）?(

1

2

)n…（12分）