Question

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xp的取值范围．

Answer 1

解答：解：（1）∵二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12），
∴由

- b 2a =1 4a+2b+c=3 9a-3b+c=-12

解得

a=-1 b=2 c=3

．
∴此二次函数的表达式为y=-x²+2x+3．

（2）假设存在直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似．
在y=-x²+2x+3中，令y=0，则由-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0）．
令x=0，得y=3．
∴C（0，3）．
设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（-1，0）．
∴|AB|=4，|OB|=|OC|=3，∠OBC=45°．
∴|BC|=

32+32

=3

2

．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
已有∠B=∠B，则只需

|BD|

|BC|

=

|BO|

|BA|

，①或

|BO|

|BC|

=

|BD|

|BA|

②成立．
若是①，则有|BD|=

|BO|?|BC|

|BA|

=

3×3 2

4

=

9 2

4

．
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|²+|DE|²=2|BE|²=|BD|²=（

9 2

4

）²．
解得|BE|=|DE|=

9

4

（负值舍去）．
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-

9

4

=

3

4

．
∴点D的坐标为（

3

4

，

9

4

）．
将点D的坐标代入y=kx（k≠0）中，求得k=3．
∴满足条件的直线l的函数表达式为y=3x．
或求出直线AC的函数表达式为y=3x+3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为y=3x．
此时易知△BOD∽△BAC，再求出直线BC的函数表达式为y=-x+3．联立y=3x，y=-x+3求得点D的坐标为（

3

4

，

9

4

）．
若是②，则有|BD|=

|BO|?|BA|

|BC|

=

3×4

3 2

=2

2

．
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|²+|DE|²=2|BE|²=|BD|²=（2

2

）²．
解得|BE|=|DE|=2（负值舍去）．
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-2=1．
∴点D的坐标为（1，2）．
将点D的坐标代入y=kx（k≠0）中，求得k=2．
∴满足条件的直线l的函数表达式为y=2x．
∴存在直线l：y=3x或y=2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合），
使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为（

3

4

，

9

4

）或（1，2）．

（3）设过点C（0，3），E（1，0）的直线y=kx+3（k≠0）与该二次函数的图象交于点P．
将点E（1，0）的坐标代入y=kx+3中，
求得k=-3．
∴此直线的函数表达式为y=-3x+3．
设点P的坐标为（x，-3x+3），
并代入y=-x²+2x+3，得x²-5x=0．
解得x₁=5，x₂=0（不合题意，舍去）．
∴x=5，y=-12．
∴点P的坐标为（5，-12）．
此时，锐角∠PCO=∠ACO．
又∵二次函数的对称轴为x=1，
∴点C关于对称轴对称的点C'的坐标为（2，3）．
∴当x_p＞5时，锐角∠PCO＜∠ACO；
当x_p=5时，锐角∠PCO=∠ACO；
当2＜x_p＜5时，锐角∠PCO＞∠ACO．