Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数

设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）等式f（x）＞0即|2x+1|-|x-2|＞0，
∴

x＜? 1 2 ?2x?1?(2?x)＞0

①，或

? 1 2 ≤x＜2 2x+1?(2?x)＞0

，
或

x≥2 2x+1?(x?2)＞0

．
解①求得 x＜-3，解②求得

1

3

＜x＜2，解③求得x≥2，
故不等式的解集为（-∞，-3）∪（

1

3

，+∞）．
（2）由题意可得，a+1＜f_min（x），而由（1）可得f_min（x）=f（-

1

2

）=-

5

2

，
∴a+1＜-

5

2

，解得a＜-

7

2

．