Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x 且f（0）=1

1,求f（x）的解析式
2,当x∈【-1，1】时 不等式：f（x）＞2x+m恒成立 求实数m的范围
3，设g(t)=f(2t+a),t∈【-1，1】,求g(t)的最大值

Answer 1

1
设：f(x)=ax²+bx+c
f(0)=1==>b=1
f(x+1)-f(x)=a[(x+1)²-x²]+b[(x+1)-x]
=a(2x+1)+b=2x
{a=1
{a+b=0
{a=1
{b= - 1
f(x)=x²-x+1
2
f(x)＞2x+m可化为：
m<x²-3x+1 x∈[-1,1]
恒小就是左边的m比右边的最小值还要小；
函数 h(x)= x²-3x+1的对称轴为；
x= 3/2,h(x)在[-1,1]上单调减，
h(min)=h(1)= - 1
m< -1
3
f(2t+a)=4t²+(4a-6)t+(a²-3a+1)
对称轴：
t=(3-2a)/4
当(3-2a)/4≤0时，无论是：函数先减后增，还是单调增，
g(MAX)=g(1)=a²+a-1
当(3-2a)/4>0时，无论是：函数先增后减，还是单调减，
g(min)=g(-1)=a²-7a+11

Answer 2

1. 代入f(0)得  f(1)-f(0)=0   所以  二次方程关于x=1/2   对称  可设 方程为f(x)=a(x-1/2)^2+b     

   代入  题中所给的式子 得  a=1    再 代入f(0)=1  得 b=3/4                                                     所以f(x)=(x-1/2)^2+3/4=x^2-x+1

2. 原不等式  化为   x^2-3x+1>m  恒成立   在  [-1，1]

   所以  画图  可得 x=1  是    最小  所以 可得  m<-1

3. g(t)=2(t+0.5a-0.25)^2+3/4     看对称轴 x=0.25-0.5a  在 [-1，1]  左边，右边  之中 得出最小值   

Answer 3

设f（x）=ax^2+bx+c
然后你根据f（x+1）-f（x）=2x，分别定义当x=0，和x=-1或x=1
就可以算出f（1），f（-1），f（2）……，然后你任选3个带进去就可以了

追问

剩下两个问题呢