Question

[高二数学]求过点M(3,-1)且被点M平分的双曲线X^2/4-Y^2=1的弦所在的直线方程

1.求过点M(3,-1)且被点M平分的双曲线X^2/4-Y^2=1的弦所在的直线方程.(过程及答案)
2.求证:双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)上任意一点P到它的两条渐近线的距离之积为常数.(过程)

谢谢!!!

Answer 1

1.使用点差法，即设两交点代入原曲线方程作差。
过程：设所求弦斜率为K，它与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),代入原曲线方程得：
(x1)^2-4(y2)^2=4……1式
(x2)^2-4(y2)^2=4……2式
2式-1式得：(x2-x1)(x2+x1)+4(y2-y1)(y2+y1)=0 移项整理后得：
(y2-y1)/(x2-x1)=(x2+x1)/(y2+y1) *(-1/4)
注意：(y2-y1)/(x2-x1)即是所求弦直线得斜率，而(x2+x1)/(y2+y1)即是中点M。
K=3/4，又该弦所在直线过M，即可用点斜式求出直线方程：
3x-4y-13=0
注意：使用点差法必须检验！
检验：
将原双曲线方程与所求方程联立，消y得：
5x^2-78x+173=0.
delta>0,因此所求直线方程正确。

Answer 2

第一题用点差法！

Answer 3

给点思路哟
1、设所求直线为y=k(x-3)-1,代入双曲线的方程消去y，得到一个一元二次方程并整理成一般形式。
设这个方程的两个根为x1、x2，而x1,x2就是直线被双曲线所截的弦的端点的横坐标。又由M是弦的中点
则x1+x2=3*2
(x1+x2就是上面的关于x的一元二次方程的一次项系数的相反数）
由此得到一个关于k的方程求出k的值，

有时有必要考虑一下，x=3是否也合题意，满足的补上。

用参数形式设点P的坐标，然后代点到距离公式求求就可以了。