Question

21题 数学题目求解

Answer 1

（1）因为是奇函数，所以f(-x)=-f(x)
当x<0时，f(x)=-f（-x)=-[2(-x)-(-x)^2]=x^2+2x
(2)因为a、b都是正数，则g(x)=2x-x^2=1-(x-1)^2
若0<a<b<=1,函数递增，2a-a^2=1/b,2b-b^2=1/a,则，a=b或ab=0，不符合要求。
若a<=1<=b,函数有最大值1，则1/a=1,a=1，则2-1=1/b,2b-b^2=1,b=1
若1<=a<b,函数递减，2a-a^2=1/a,2b-b^2=1/b,则a、b为关于m的方程2m-m^2=1/m的解，
而m=1或m=(1+-根号5）/2,而（1-根号5）/2<0,舍去
所以有一种情况：
a=b=1

Answer 2

(1)f(x)=2x-x^2,x>=0,
x<0时f(x)=-f(-x)=-[-2x-(-x)^2]=2x+x^2.
(2)0<a<b,g(x)=2x-x^2=1-(x-1)^2,x∈[a,b]的值域是[1/b,1/a],
1)1∈[a,b],1/a=1,a=1,g(x)在[1,b]上是减函数，
∴g(b)=2b-b^2=1/b,
∴b^3-2b^2+1=0,
(b-1)(b^2-b-1)=0,b>1,
∴b=(1+√5)/2.
2)1<a时g(a)=1/a,g(b)=1/b,
a,b是方程(x-1)(x^2-x-1)=0的两个正根，但1<a<b,故无解。
3）b<1,g(x)在[a,b]上是增函数，
g(a)=2a-a^2=1/b①,g(b)=2b-b^2=1/a,
∴g(b)-g(a)=(b-a)(2-a-b)=(b-a)/(ab),
∴2-a-b=1/(ab),
∴2a-a^2-ab=1/b,②
①-②，ab=0,矛盾。
综上，a=1,b=(1+√5)/2.