Question

证明：若单调数列{Xn}存在收敛子列,则{Xn}本身必收敛

谢谢，各位帮帮忙

Answer 1

不妨设Xn为单增数列，设{Xk}为{Xn}的收敛子列，且{Xk}极限为a，则a为{Xk}的上界。

下证a为{Xn}的上界。

任取Xn0，存在Xk0，使Xk0在数列{Xk}中，且k0>n0。

由于a为{Xk}的上界，因此Xk0≤a。

由于数列是单增数列，则Xn0<Xk0≤a。

由Xn0的任意性，得a为数列{Xn}的上界，因此数列{Xn}单增有上界，极限存在。

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

Answer 2

不妨设Xn为单增数列，设{Xk}为{Xn}的收敛子列，且{Xk}极限为a，则a为{Xk}的上界
下证a为{Xn}的上界
任取Xn0，存在Xk0，使Xk0在数列{Xk}中，且k0>n0
由于a为{Xk}的上界，因此Xk0≤a
由于数列是单增数列，则Xn0<Xk0≤a
由Xn0的任意性，得a为数列{Xn}的上界，因此数列{Xn}单增有上界，极限存在。

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

追问

我看得懂你的证明，只是我在想令k0>n0会不会是把范围缩小了呢？

追答

寻找界的时候只关注：从某一项开始以后的项即可，以前的项不必关心，因为是有限项，界是一定存在的，何况这个数列单调，不影响的。