Question

已知f(x)+2f(1\x)=2x+3,求f(x)的解析式求解题过程（不要答案，我需要看得懂的解析）f(x)＋2f(1/x)=2x＋...

已知f(x)+2f(1\x)=2x+3,求f(x)的解析式求解题过程（不要答案，我需要看得懂的解析）f(x)＋2f(1/x)=2x＋3 ---------------------(1)
以1/x替代上式中的x，得：
f(1/x)＋2f(x)=(2/x)＋3
即：
2f(1/x)＋4f(x)=(4/x)＋6 ----------------(2)
(2)减去(1)，得：
3f(x)=(4/x)－(2x)＋3
f(x)=4/(3x)－(2x/3)＋1

Answer 1

这是在给定一个复合函数关系式来求函数解析式的常用方法，大家称之为“消去法”。以本题为例说明如下：
从已知函数关系式f(x)+2f(1/x)=2x+3来看，其中包含了一个f(x)的复合函数f(1/x)。因为没有特别限制，则认为f(x)的定义域为x≠0（即由复合函数自变量1/x有意义而得）。这个关系式的意义是，不论x在定义域内取何值，f(x)+2f(1/x)=2x+3总成立。
不妨将x取为t，即令x=t（t只要满足t≠0），则有f(t)+2f(1/t)=2t+3（I）
显然因为t≠0，则1/t≠0，说明1/t也可以作为x的取值。于是令x=1/t，则t=1/x，代入函数关系式有f(1/t)+2f(t)=2/t+3（II）
需要理解的是，（I）（II）两式中的f(t)和f(1/t)是相同的，但存在于两个不同的关系式，利用解方程的思想，两个未知数两个方程是有解的。于是采用解二元一次方程组的“消元法”即可解出有用的f(t)。
那么f(t)显然会是关于t的代数式，因为t的取值范围与f(x)的定义域相同，而f(t)与f(x)的法则都是f，所以f(t)的代数式就是函数f(x)的解析式，只不过f(t)中的t换回成x就OK了

Answer 2

【解答】
f(x)＋2f(1/x)=2x＋3 ---------------------(1)
以1/x替代上式中的x，得：
f(1/x)＋2f(x)=(2/x)＋3
即：
2f(1/x)＋4f(x)=(4/x)＋6 ----------------(2)
(2)减去(1)，得：
3f(x)=(4/x)－(2x)＋3
f(x)=4/(3x)－(2x/3)＋1

还有哪里不明白的，发消息吧。

Answer 3

一般人不理解以1/x替代上式中的x，
由于f(x)是函数，表示的是变量之间的一一对应关系，x是变量，函数值也是变量。
x可以等于其定义域内的任何数，对于任意一个确定的x值，f(x)+2f(1\x)=2x+3成立，那么，如果取这个确定的x值得倒数1/x，如果它仍在函数定义域内，对于确定的这个量1/x，根据前面的等式，f(1/x)＋2f(x)=(2/x)＋3也应该是成立的，而对于一个确定的相同的x，f（x）值是相同的，所以，两个式子可以联立求解。

Answer 4

题目中既含有f(x)，又含有f(1/x)时的解题思路就是这样：
以1/x替代上式中的x得：
f(1/x)＋2f(x)=(2/x)＋3
（这样就是两个方程，两个未知数，形成一个方程组。。。即可解未知数了）
为消掉f(1/x)，需方程两边乘以2：
2f(1/x)＋4f(x)=(4/x)＋6
又已知f(x)+2f(1\x)=2x+3，
则上式减去下式等于：3f(x)=(4/x)－(2x)＋3
化简得：f(x)=4/(3x)－(2x/3)＋1